本节书摘来自异步社区《ANSYS CFX 14.0超级学习手册》一书中的第1章，第1.2节,作者： 高飞 , 李昕 更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。

1.2　流体力学控制方程

ANSYS CFX 14.0超级学习手册

流体流动要受物理守恒定律的支配，基本的守恒定律包括质量守恒定律、动量守恒定律、能量守恒定律。

如果流动包含有不同成分（组元）的混合或相互作用，系统还要遵守组分守恒定律。如果流动处于湍流状态，系统还要遵守附加的湍流输运方程。

控制方程是这些守恒定律的数学描述，这些定律在流体力学中的体现就是相应的连续性方程和N-S方程。

1.2.1　物质导数

根据欧拉的观点，流场中的物理量均是空间坐标和时间的函数，即

研究各物理量对时间的变化率，例如速度分量2433.jpg对时间的变化率（全微分），则有

式中，u、ν、w为速度矢量ν沿x、y、z轴的三个速度分量。将上式中的u用N替换，代表任意物理量，则得到任意物理量N对时间t的变化率。

1.2.2　连续性方程

在流场中任取一封闭空间，此空间称为控制体，其表面称为控制面。流体通过控制面|A_{1}{}流入控制体，同时也会通过另一部分控制面A_{2}{}流出控制体，在这期间控制体内部流体质量也会发生变化。

按照质量守恒定律，单位时间内流体流入控制体中质量的增加，等于同一时间间隔内流出该控制体的净质量，由此可导出流体流动连续性方程的积分形式如下。

式中，Vol表示控制体，A表示控制面。等式左边第一项表示控制体内部质量的增量，第二项表示通过控制表面流入控制体的净通量。

根据数学中的高斯公式，在直角坐标系下可将其化为微分形式如下。

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

对于圆柱坐标系，其形式为

对于不可压缩均质流体，密度为常数，则有

1.2.3　N-S方程

黏性流体的运动方程首先由Navier在1827年提出，只考虑了不可压缩流体的流动。Poisson在1831年提出可压缩流体的运动方程。

Saint-Venant在1843年，Stokes在1845年独立提出黏性系数为一常数的形式，现在都称为Navier-Stokes方程，简称N-S方程。

1．用于可压缩黏性流体的运动方程

2．黏性系数为常数，不随坐标位置而变化条件下的矢量形式

3．流体的密度和黏性系数都是常数条件下的矢量形式

4．理想流体的运动方程—Euler方程

若不考虑流体的黏性，则由上式可得理想流体的运动方程—Euler方程如下。

N-S方程比较准确地描述了实际的流动，黏性流体的流动分析均归结为对此方程的研究。由于其形式甚为复杂，实际上只有极少量情况可以求出准确解，故产生了通过数值计算求解的研究，这也是计算流体力学进行计算的最基本的方程，所有的流体流动问题，都是围绕着对N-S方程的求解进行。